Question

11．设函数f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=sinx，则函数g（x）=|cos（πx）|-f（x）在区间$[-\frac{5}{2}，\frac{9}{2}]$上的所有零点的和为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 13
• D． 14

Answer 1

分析 确定函数的周期为4，且y=f（x）的图象关于直线x=1对称，g（x）=|cos（πx）|-f（x）在区间$[{-\frac{5}{2}，\;\;\frac{9}{2}}]$上的零点，即方程|cos（πx）|=f（x）的零点，利用图象可得结论．

解答 解：由题意，函数f（-x）=-f（x），f（x）=f（2-x），则-f（-x）=f（2-x），可得f（x+4）=f（x），即函数的周期为4，
且y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
g（x）=|cos（πx）|-f（x）在区间$[{-\frac{5}{2}，\;\;\frac{9}{2}}]$上的零点，即方程|cos（πx）|=f（x）的零点，
画y=|cos（πx）|函数图象，
∵两个函数的图象都关于直线x=1对称，
∴方程|cos（πx）|=f（x）的零点关于直线x=1对称，
由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，
故选A．

点评 本题考查函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．