Question

如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．

（Ⅰ）求证：PC⊥DE；

（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为，求PA的值．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB，

因为AD⊂平面PAB，

所以BC⊥AD．…（2分）

又AD⊥PB，BC∩PB=B，

所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…（4分）

又PC⊥AE，AD∩AE=A，

所以PC⊥平面ADE，

因为DE⊂平面ADE，

所以PC⊥DE…（6分）

（Ⅱ）解：过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．   …（7分）

设PA=a，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（2，0，a），

因为PC⊥平面ADE，所以是平面ADE的一个法向量，

所以向量所成的角的余弦值的绝对值为，…（9分）

又

则，解得a=1

所以PA=1…（12分）