Question

14．已知P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1右支上的一点，M、N分别是圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=4上的点，则|PM|-|PN|的最大值等于10．

Answer 1

分析 由题设通过双曲线的定义推出|PF₁|-|PF₂|=6，利用|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，推出|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|-|NF₂|，求出最大值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1中，
∵a=3，b=4，c=5，
∴F₁（-5，0），F₂（5，0），
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
∴-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，
所以，|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|
=6+2+2
=10．
故答案为：10．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．