Question

已知动点P到直线l：x+4=0的距离与它到点M（2，0）的距离之差为2，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）问直线l上是否存在点Q，使得过点Q且斜率分别为k₁，k₂的两直线与曲线C相切，同时满足k₁+2k₂=0，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据抛物线定义，曲线C是以（2，0）为焦点，x=-2为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设Q（-4，y₀），过Q与C相切的直线设为y-y₀=k（x+4），k≠0，联立

y2=8x y-y0=k(x+4)

，得ky²-8y+8y₀+32k=0，由此能求出存在点Q（-4，2）和（-4，-2），使得过点Q的两直线与曲线C相切，且满足k₁+2k₂=0．

解答： 解：（Ⅰ）根据抛物线定义，曲线C是以（2，0）为焦点，x=-2为准线的抛物线，
∴p=4，
∴曲线C的方程为y²=8x．
（Ⅱ）设Q（-4，y₀），过Q与C相切的直线设为y-y₀=k（x+4），k≠0，
联立

y2=8x y-y0=k(x+4)

，得ky²-8y+8y₀+32k=0，
∵直线与曲线C相切，
∴△=64-4k（8y₀+32k）=0，∴4k²+y₀k-2=0，
∴

k1+k2=- y0 4 k1k2=- 1 2

，
∵k₁，k₂是两切线的斜率，且满足k₁+2k₂=0，
∴k₁=-

y0

2

，k2=

y0

4

，又∵k1k2=-

1

2

，∴y₀=±2，
∴存在点Q（-4，2）和（-4，-2），使得过点Q的两直线与曲线C相切，且满足k₁+2k₂=0．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．