Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ax+1，x＜0}\\{（a-3）x+4a，x≥0}\end{array}\right.$满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则实数a的取值范围是（-∞，0]．

Answer 1

分析 若对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ax+1，x＜0}\\{（a-3）x+4a，x≥0}\end{array}\right.$为减函数，进而根据分段函数单调性的定义，可得答案．

解答 解：若对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ax+1，x＜0}\\{（a-3）x+4a，x≥0}\end{array}\right.$为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}{2}≥0\\ a-3＜0\\ 1≥4a\end{array}\right.$，
解得：a∈（-∞，0]，
故答案为：（-∞，0]

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并正确理解分段函数单调性的定义，是解答的关键．