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设F为抛物线y=-
1
4
x2
的焦点,该抛物线在点P(-4,-4)处的切线l与x轴的交点为Q,则△PFQ的外接圆的方程为
(x+2)2+(y+
5
2
)2=
25
4
(x+2)2+(y+
5
2
)2=
25
4
分析:确定抛物线的焦点与在点P(-4,-4)处的切线,求出Q的坐标,再利用PQ⊥QF,即可求得△PFQ的外接圆的方程.
解答:解:抛物线y=-
1
4
x2
的焦点F(0,-1)
求导函数可得y′=-
1
2
x
,当x=-4时,y′=-
1
2
× (-4)=2

∴抛物线在点P(-4,-4)处的切线为y+4=2(x+4),即2x-y+4=0
令y=0,可得x=-2,∴Q(-2,0)
kQF=
-1
2
=-
1
2
,kPQ=2
∴PQ⊥QF
∴△PFQ的外接圆的直径为PF
∵P(-4,-4)、F(0,-1)
∴圆心坐标为(-2,-
5
2
),半径为
5
2

∴△PFQ的外接圆的方程为(x+2)2+(y+
5
2
)
2
=
25
4

故答案为:(x+2)2+(y+
5
2
)
2
=
25
4
点评:本题考查抛物线的性质与切线,考查三角形的外接圆,解题的关键是求出抛物线的切线,确定三角形三个顶点的坐标.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个动点A,B和一个定点P(
3
3
2
)
均在抛物线x2=2py上,设F为抛物线的焦点,Q为抛物线对称轴上一点,若|
FA
| , |
FP
| , |
FB
|
成等差数列,且(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0
(A,B与P不重合).
(1)求证:线段AB的中点在直线y=
3
2
上;
(2)求点Q的纵坐标;
(3)求|
AB
|
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设F为抛物线y2=2x-1的焦点,Q (a,2)为直线y=2上一点,若抛物线上有且仅有一点P满足|PF|=|PQ|,则a的值为
0或1
0或1

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