Question

20．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n+n，则a₁=-1，{a_n}的通项公式a_n=1-2ⁿ．

Answer 1

分析 由S_n=2a_n+n，可得数列{a_n-1}是以2为公比，以-2为首项的等比数列．再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：由S_n=2a_n+n，
当n=1时，a₁=S₁=2a₁+1，解得a₁=-1，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-2a_n-1-n+1，
∴a_n=2a_n-1-1，
∴a_n-1=2a_n-1-2=2（a_n-1-1），
∵a₁-1=-2
∴数列{a_n-1}是以2为公比，以-2为首项的等比数列，
∴a_n-1=-2×2^n-1=-2ⁿ，
∴a_n=1-2ⁿ．
故答案为：-1，2^n-1．

点评 本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于中档题