Question

8．已知中心在原点椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其中一个顶点是（0，-$\sqrt{3}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（-2，1）的直线l与椭圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用离心率以及椭圆的顶点坐标，列出方程求解椭圆的a，b，即可顶点椭圆方程．
（2）通过直线的斜率不存在判断直线方程是否是切线方程，切线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立方程组，利用判别式为0，求出k，然后求解切线方程．

解答 解：（1）中心在原点椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其中一个顶点是（0，-$\sqrt{3}$），
可得e=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-{c}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
椭圆C的方程，：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）过点P（-2，1）的直线l，当斜率不存在时，直线与x=-2，显然与椭圆相切；
当直线的斜率存在时，直线为：y-1=k（x+2），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²+（16k²+8k）x+16k²+16k-8=0，
因为直线与椭圆相切，所以△=（16k²+8k）²-4（3+4k²）（16k²+16k-8）=0，
解得k=$\frac{1}{2}$，此时的切线方程为：x-2y+4=0．
所求的直线方程为：x=-2或x-2y+4=0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．