Question

9．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=2，O、D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：PA∥平面COD；
（2）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由O、D分别是AB，PB的中点，得OD∥AP，即可得PA∥平面COD．
（2）连接OP，得OP⊥面ABC，且OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{6}$．即可得三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{s}_{ABC}×OP=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×\sqrt{6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：（1）∵O、D分别是AB，PB的中点，∴OD∥AP
又PA?平面COD，OD?平面COD
∴PA∥平面COD．
（2）连接OP，由△PAB是等边三角形，则OP⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABC，∴OP⊥面ABC，且OP=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{6}$．
∴三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{s}_{ABC}×OP=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×\sqrt{6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了空间线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．