Question

如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，

E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.

（1）求CE的长；

（2）求证：A1C⊥平面BED；

（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值.

 

 

Answer 1

：解  如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），A1（2，0，4），

B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B1C，∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

（2）证明  由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），

又=（-2，2，-4），=（2，2，0），∴·=4+0-4=0，且·=-4+4+0=0.

∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.  即A1C⊥平面BED.

（3）解  由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,

∴cos〈,〉==.

∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为.