Question

18．设变量x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{x-y-2≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，则目标函数z=4^x•8^y的最大值为512．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据指数幂的运算法则先化简z，然后令m=2x+3y，利用m的几何意义以及利用数形结合即可得到结论．

解答 解：z=4^x•8^y=z=2^2x•2^3y=2^2x+3y，
设m=2x+3y
作出不等式组对应的平面区域如图：
由m=2x+3y得y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m，
平移直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m，由图象可知当直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m经过点B时，
直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），
此时m_max=2×3+3×1=9，
则z_max=2⁹=512，
故答案为：512．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合指数幂的运算法则先进行化简，通过数形结合是解决本题的关键．