Question

8．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点P是椭圆上位于第一象限的点，点F为椭圆的右焦点，且|OP|=|OF|，设∠FOP=α且α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，则椭圆离心率的取值范围为（　　）

• A． [$\sqrt{3}$-1，$\frac{2}{3}$]
• B． [2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• C． [$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• D． [2-$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 通过设椭圆的左焦点为F′，作点P关于原点对称的点B，连接PF′、BF、PF、BF′构造矩形PFBF′，用α的三角函数值表示|PF|、|BF|，进而利用离心率公式计算即得结论．

解答 解：设椭圆的左焦点为F′，作点P关于原点对称的点B，
连接接PF′、BF、PF、BF′，则四边形PFBF′为矩形．
因此|PB=|FF′|=2c，
∵|PF|+|BF|=2a，|PF|=2csinα，|BF|=2ccosα，
∴2csinα+2ccosα=2a，
∴e=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
又∵α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，
∴α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$]，sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$]，
∵$\frac{1}{e}$=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]，
∴e∈[$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．