Question

8．已知抛物线y²=2x上两点A，B满足A在x轴上方，B在x轴下方，O是坐标原点且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}=3$，则线段AB中点M的坐标满足方程（　　）

• A． y²=2x-12
• B． y²=2x+4
• C． y²=x+1
• D． y²=x-3

Answer 1

分析 根据条件可设$A（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}，{y}_{1}），B（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}，{y}_{2}），M（x，y）$，从而由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=3$得出$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}=3$，从而可解出y₁y₂=-6，从而有$\left\{\begin{array}{l}{x=（\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）+3}\\{y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}\end{array}\right.$，这样即可求出点M的坐标满足的方程．

解答 解：设$A（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}，{y}_{1}），B（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}，{y}_{2}）$，M（x，y），则：
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}=3$；
即$（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}+4{y}_{1}{y}_{2}-12=0$；
解得y₁y₂=-6，或2；
∵y₁，y₂异号；
∴y₁y₂=-6；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}=\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{4}+3}\\{y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}\end{array}\right.$；
∴x=y²+3，即y²=x-3．
故选：D．

点评 考查抛物线上点的坐标的设法，数量积的坐标运算，一元二次方程的解法，以及中点坐标公式，完全平方公式的运用．