Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，若$f（{\frac{α}{2}}）=\frac{1}{2}，α∈（{\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}）$，求g（α）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，根据条件求得sin（α+$\frac{π}{6}$）和cos（α+$\frac{π}{6}$） 的值，再利用两角和差的三角公式、二倍角公式求得g（α）的值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，
可得A=2，$\frac{2π}{ω}$=$\frac{11π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$），∴ω=2，再根据五点法作图可得2•（-$\frac{π}{12}$）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
若 f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$．
再根据α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
则g（α）=2sin（2α-$\frac{π}{3}$）=2sin[2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{2π}{3}$]=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{2π}{3}$-2cos（2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{2π}{3}$
=-sin（2α+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$•sin（2α+$\frac{π}{3}$）=-2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$•（2${cos}^{2}（α+\frac{π}{6}）$-1）
=-2•$\frac{1}{4}•（-\frac{\sqrt{15}}{4}）$-$\sqrt{3}$•（2•$\frac{15}{16}$-1）=$\frac{\sqrt{15}-7\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两角和差的三角公式、二倍角的应用，属于中档题．