Question

已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x²－6x＋21)＋f(y²－8y)<0恒成立，则当x>3时，x²＋y²的取值范围是(　　)

A．(3,7)                                                        B．(9,25)

C．(13,49)                                                    D．(9,49)

Answer 1

C

[解析]　因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)为R上的奇函数，不等式f(x²－6x＋21)＋f(y²－8y)<0恒成立，即为f(x²－6x＋21)<－f(y²－8y)＝f(8y－y²)恒成立，因为函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，所以x²－6x＋21<8y－y²恒成立，即x²＋y²－6x－8y＋21<0恒成立，即点(x，y)恒在圆(x－3)²＋(y－4)²＝4内，当x>3时，x²＋y²表示半圆(x－3)²＋(y－4)²＝4(x>3)上的点到原点的距离的平方，所以最大为(＋2)²＝49，最小为点(3,2)到原点的距离的平方，即为3²＋2²＝13，所以x²＋y²的取值范围是(13,49)．