【题目】设 ,g(x)=x3﹣x2﹣3.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)如果存在x1 , x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(3)如果对任意的 ,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=2时, , ,f(1)=2,f'(1)=﹣1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=﹣x+3
(2)解:存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立
等价于:[g(x1)﹣g(x2)]max≥M,
考察g(x)=x3﹣x2﹣3, ,
由上表可知: ,
,
所以满足条件的最大整数M=4
(3)解:当 时, 恒成立
等价于a≥x﹣x2lnx恒成立,
记h(x)=x﹣x2lnx,h'(x)=1﹣2xlnx﹣x,h'(1)=0.
记m(x)=1﹣2xlnx﹣x,m'(x)=﹣3﹣2lnx,
由于 ,m'(x)=﹣3﹣2lnx<0,
所以m(x)=h'(x)=1﹣2xlnx﹣x在 上递减,
当 时,h'(x)>0,x∈(1,2]时,h'(x)<0,
即函数h(x)=x﹣x2lnx在区间 上递增,在区间(1,2]上递减,
所以h(x)max=h(1)=1,所以a≥1
【解析】(1)根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,最后用直线的斜截式表示即可;(2)存在x1 , x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立等价于:[g(x1)﹣g(x2)]max≥M,先求导数,研究函数的极值点,通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值,从而求出[g(x1)﹣g(x2)]max , 求出M的范围;(3)当 时, 恒成立等价于a≥x﹣x2lnx恒成立,令h(x)=x﹣x2lnx,利用导数研究h(x)的最大值即可求出参数a的范围.
【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本,需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知平面区域D由以A(2,4)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成,若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则m= .
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【题目】已知直线l:2x+y﹣1=0与圆C:x2+y2=1相交于A,B两点.
(1)求△AOB的面积(O为坐标原点);
(2)设直线ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交于M,N两点(其中a,b是实数),若OM⊥ON,试求点P(a,b)与点Q(0,1)距离的最大值.
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【题目】如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1、AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式,并求出的单调递增区间;
(2)将函数的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍,再将图象向右平移个单位,得到的图象,若存在使得等式成立,求实数的取值范围.
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