Question

2．设函数f（x）=|x-$\sqrt{2}$|-|x+$\sqrt{2}$|最大值为M，
（1）求实数M的值；
（2）若?x∈R，f（x）≥t²-（2+$\sqrt{2}$）t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据解析式分别由x的范围去绝对值，化简后可得函数f（x）的解析式，即可求出最大值M；
（2）由（1）中f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，由条件和恒成立问题列出不等式，求出解集即可得实数t的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=|x-$\sqrt{2}$|-|x+$\sqrt{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}，x≤-\sqrt{2}}\\{-2x，-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}}\\{-2\sqrt{2}，x≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$，（3分）
∴函数f（x）的最大值M是2$\sqrt{2}$；                       （5分）
（2）由（1）知，函数f（x）的最小值M是-2$\sqrt{2}$，（6分）
∵?x∈R，f（x）≥t²-（2+$\sqrt{2}$）t恒成立，
∴-2$\sqrt{2}$≥t²-（2+$\sqrt{2}$）t，（7分）
化简得，t²-（2+$\sqrt{2}$）t+2$\sqrt{2}$≤0，（8分）
解得$\sqrt{2}≤t≤2$，所以不等式的解集是[$\sqrt{2}$，2]．（10分）

点评 本题考查了含有绝对值的函数化简，分段函数的最值，以及恒成立问题的转化问题，考查化简、变形能力．