Question

11．当x∈[-4，-1]∪[1，4]时，不等式ax²-x+4+$\frac{3}{x}$≤0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，-2）
• C． （-∞，-6]
• D． （-∞，-6）

Answer 1

分析 由题意可得a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$在x∈[-4，-1]∪[1，4]的最小值，由f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$，求得导数，判断单调性可得最小值，可得a的范围．

解答 解：当x∈[-4，-1]∪[1，4]时，不等式ax²-x+4+$\frac{3}{x}$≤0恒成立，
即为a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$在x∈[-4，-1]∪[1，4]的最小值，
由f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$的导数为f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{{x}^{4}}$+$\frac{8}{{x}^{3}}$=$\frac{9+8x-{x}^{2}}{{x}^{4}}$，
由x∈[1，4]可得9+8x-x²＞0，即有区间[1，4]为增区间，
即有f（1）为[1，4]上的最小值，且为-6；
由x∈[-4，-1]可得9+8x-x²≤0，即有区间[-4，-1]为减区间，
即有f（-1）为[-4，-1]上的最小值，且为-2．
可得f（x）在x∈[-4，-1]∪[1，4]的最小值为-6．
即有a≤-6．
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数判断单调性求得最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．