Question

16．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x∈Q\\ π，x∈{∁_R}Q\end{array}$，下列结论中不正确的是（　　）

• A． 函数值域为[1，π]
• B． 此函数不单调
• C． 此函数为偶函数
• D． 方程f[f（x）]=x有两解

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，分别结合函数值域，单调性奇偶性以及函数与方程的关系分别进行判断即可．

解答 解：A．由分段函数的表达式得x∈Q时，f（x）=1，当x∈C_RQ时，f（x）=π，
则函数的值域为{1，π}，故A错误，
B．∵当x∈Q时，f（x）=1，当x∈C_RQ时，f（x）=π，
∴函数不具备单调性，故B正确，
C．若x∈Q时，则-x∈Q，此时f（-x）=f（x）=1，
当x∈C_RQ时，-x∈C_RQ时，f（-x）=f（x）=π，
综上f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故C正确，
D．当x∈Q时，f（x）=1，则由f[f（x）]=x得f（1）=x，此时x=1，
当x∈C_RQ时，f（x）=π，则由f[f（x）]=x得f（π）=x，此时x=π，
故方程f[f（x）]=x有两解，故D正确，
故选：A

点评 本题主要考查与分段函数有关的命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，单调性，值域等性质．