Question

3．已知f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²．那么，当1≤x≤2时，f（x）=（x-2）²；若直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个公共点，则实数a的值是a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性先求出在一个周期[-1，1]内的表达式，作出函数f（x）与直线y=x+a的图象，根据两个函数恰好有2个不同的交点，利用数形结合建立不等式关系进行求解．

解答 解：∵函数是偶函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x²
∴当-1≤x≤0时，0≤-x≤1
∴f（-x）=（-x）²
又∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）
∴当-1≤x≤0时，f（x）=x²
∴当-1≤x≤1时，f（x）=x²
又∵函数f（x）的周期为2，
∴当1≤x≤2时，当-1≤x-2≤0，
即f（x）=f（x-2）=（x-2）²；
作出函数f（x）与y=x+a的图象如图：

∴直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个交点，有两种情况
①当直线过（0，0）和点（1，1）时，直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个交点
∴a=0
由周期性的a=2k（k∈Z）
②当直线与曲线相切时：当0≤x≤1时，f（x）=x²
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+a}\end{array}\right.$
∴x²-x-a=0
由题意知△=1+4a=0
∴$a=\;-\frac{1}{4}$
由周期性知$a=2k-\frac{1}{4}$（k∈Z）
∴a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$，
故答案为：（x-2）²；  a=2k或$a=2k-\frac{1}{4}（k∈Z）$．

点评 本题主要考查根的个数的应用，考查了函数的周期性、奇偶性、根的存在性及根的个数判断，利用数形结合是解决本题的关键．体现了数形结合思想的应用．