Question

4．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由四棱锥P-ABCD的三视图得该四棱锥的底面是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC=2，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（2）推导出BD⊥AC，PC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此根据AE?平面PAC，得到不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）以C为原点，CD为x轴，DB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答 解：（1）由四棱锥P-ABCD的三视图得该四棱锥的底面是边长为1的正方形，
PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴四棱锥P-ABCD的体积：
V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}×PC$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}×2$=$\frac{2}{3}$．
（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PC⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PC⊥BD，
又AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，
∵E是侧棱PC上的动点，∴AE?平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）以C为原点，CD为x轴，DB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），
$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，1），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角E-BD-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角E-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．