Question

15．已知在△ABC中，A（2，4），B（-1，-2），C（4，3），BC边上的高为AD．
（1）求证：AB⊥AC；
 （2）求向量$\overrightarrow{AD}$．

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算和向量垂直的条件即可求出．

解答 解　（1）∵$\overrightarrow{AB}$=（-1，-2）-（2，4）=（-3，-6），
$\overrightarrow{AC}$=（4，3）-（2，4）=（2，-1），
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-3×2+（-6）×（-1）=0，
∴AB⊥AC．
（2）$\overrightarrow{BC}$=（4，3）-（-1，-2）=（5，5）．
设$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BC}$=（5λ，5λ）
则$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=（-3，-6）+（5λ，5λ）=（5λ-3，5λ-6），
由AD⊥BC得5（5λ-3）+5（5λ-6）=0，
解得λ=$\frac{9}{10}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查向量的垂直与共线的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．