Question

14．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对?x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，给出下列命题：
（1）f（2）=0； 
（2）直线x=-4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；
（3）函数y=f（x）在[-4，4]上有四个零点；
（4）f（2012）=f（0）
其中所有正确命题的序号为（1）（2）（4）．

Answer 1

分析 由函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我们令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，进而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由当x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，得函数在区间[0，2]单调递减，由此我们画出函数的简图，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．

解答 解：∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
当x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函数y=f（x）是R上的偶函数
∴f（-2）=f（2）=0，故（1）正确；
由f（2）=0，知f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），故周期为4．
又由当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₁时，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，
∴函数在区间[0，2]单调递减，
由函数是偶函数，知函数在[-2，0]上单调递增，
再由函数的周期为4，得到函数f（x）的示意图如下图所示：

由图可知：（1）正确，（2）正确，（3）错误，（4）正确
故答案为：（1）（2）（4）．

点评 本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误．