Question

已知函数f（x）=ax²-lnx．
（I）讨论函数f（x）单调性；
（Ⅱ）当时，证明：曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t））处的切线至少有两个不同的公共点．

Answer 1

（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），
由f（x）=ax²-lnx，得：f′（x）=2ax-．
（1）若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是减函数；
（2）若a＞0，由，得：．
则当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）是减函数；
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（，+∞）是增函数．
（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）在P（t，f（t））处的切线方程为y=f′（t）（x-t）+f（t），
且P为它们的一个公共点．
当a=时，，，
设g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，则g′（x）=f′（x）-f′（t），
则有g（t）=0，且g′（t）=0．
设h（x）=g′（x）=-x--f′（t），则当x∈（0，2）时，h′（x）=-+＞0，
于是g′（x）在（0，2）是增函数，且g′（t）=0，
所以，当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）是减函数；
当x∈（t，2）时，g′（x）＞0，g（x）在（t，2）是增函数．
故当x∈（0，t）或x∈（t，2]时，g（x）＞g（t）=0．
若x∈（2，+∞），则g（x）=-x²-lnx-[f′（t）（x-t）+f（t）]
=-x²+（t+）x-t²-1-ln＜-x²+（t+）x-t²-1=-x（x-2t-）-t²-1．
当x＞2t+时，g（x）＜-t²-1＜0．
所以在区间（2，2t+）至少存在一个实数x₀＞2，使g（x₀）=0．
因此曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t））处的切线至少有两个不同的公共点．
分析：（Ⅰ）对原函数求导，然后分a＞0和a≤0两种情况讨论导函数的符号，a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
a＞0时，求导函数的零点，利用导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断原函数在不同区间段内的单调性；
（Ⅱ）利用导数求出曲线y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线方程，然后构造函数g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，因为点P（t，f（t））是曲线y=f（x）与切线的公共点，只要再说明函数g（x）有除了t外的另外零点即可，通过对函数g（x）进行求导，利用函数单调性得到当x∈（0，t）或x∈（t，2]时，g（x）＞g（t）=0，利用放缩法，借助与不等式说明当x＞2t+时，g（x）＜0，从而说明曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t））处的切线至少有两个不同的公共点．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数图象的交点问题，对于本题（Ⅱ）的证明，涉及到构造函数，特别是证明当x＞2时g（x）＜0，用到了不等式证明中的放缩法，是难度较大题目．