Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域；
（Ⅲ） 令g（x）=f（x-

π

6

），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式求出函数的周期，和最值；
（Ⅱ）由x∈[-

π

12

，

π

2

]，则2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，再由正弦函数的性质，即可得到值域；
（Ⅲ）化简g（x）=f（x-

π

6

），通过函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．

解答： 解：f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin（2x-

π

2

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）．
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，令2x-

π

6

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

+

π

3

，k为整数，
图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

，k为整数；
（Ⅱ）由x∈[-

π

12

，

π

2

]，则2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
x=-

π

12

，f（x）取最小值-

3

2

，x=

π

3

时，f（x）取最大值1．
则f（x）的值域为[-

3

2

，1]．
（Ⅲ）g（x）为偶函数．
g（x）=f（x-

π

6

）=sin（2x-

π

3

-

π

6

）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x，
由于g（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=g（x），
则g（x）为偶函数．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，奇偶性的判断，函数的值域的求法，考查计算能力．