Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，求得首项；当n≥2时，根据已知条件S_n=2ⁿ⁺¹-2（n∈N^*）推知${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-2-（{2^n}-2）={2^n}$，易得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出b_n，运用分组求和和错位相减求和．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}={2^{n+1}}-2$，
当n=1时，${a_1}={2^2}-2=2$，
当n≥2，${S_{n-1}}={2^n}-2$，
则${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-2-（{2^n}-2）={2^n}$，
当n=1时，a₁=2满足上式，
所以${a_n}={2^n}$．
（Ⅱ） 由（Ⅰ），${b_n}=n{a_n}=n×{2^n}$．
则${T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+…+n×{2^n}$，
所以$2{T_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+n×{2^{n+1}}$，
则$-{T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}$=（1-n）2ⁿ⁺¹-2．
所以${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，以及数列的求和方法：错位相减，属于中档题．