Question

7．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”
在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26．

Answer 1

分析 第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了$\frac{1}{2}$尺；第三天设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5-X）尺，则X÷4=（0.5-x）÷$\frac{1}{4}$，由此能求出大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比．

解答 解：第一天的时候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；
第二天的时候，大鼠打了2尺，小鼠打了$\frac{1}{2}$尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．
第三天按道理来说大鼠打4尺，小鼠$\frac{1}{4}$尺，
可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．
我们现在设大鼠打了X尺，小鼠则打了（0.5-X）尺
则打洞时间相等：
X÷4=（0.5-x）÷$\frac{1}{4}$
解方程得X=$\frac{8}{17}$，
所以大鼠在第三天打了8/17尺，
小鼠打了0.5-$\frac{8}{17}$=$\frac{1}{34}$尺
所以三天总的来说：大鼠打了3+$\frac{8}{17}$=$\frac{59}{17}$尺，小鼠打了5-$\frac{59}{17}=\frac{26}{17}$尺，
∴大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是59：26．
故答案为：59，26．

点评 本题考查等差数列与等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．