Question

16．斜率为$\sqrt{2}$的直线过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F交椭圆于A，B两点，且满足$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知：：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁为垂足，由椭圆的第二定义可知：丨AA₁丨=$\frac{丨AF丨}{e}$，丨BB₁丨=$\frac{丨BF丨}{e}$，则丨$\overrightarrow{A{A}_{1}}$丨=3$\frac{丨\overrightarrow{BF}丨}{e}$，cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{2\frac{丨BF丨}{e}}{4丨BF丨}$=$\frac{1}{2e}$，根据直线的斜率公式可知：tan∠BAE=k_AB=$\sqrt{2}$，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA₁，BB₁垂直于l，A₁，B₁为垂足，过B作BE⊥AA₁于E，
则丨AA₁丨=$\frac{丨AF丨}{e}$，丨BB₁丨=$\frac{丨BF丨}{e}$，由$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$知，丨$\overrightarrow{A{A}_{1}}$丨=3$\frac{丨\overrightarrow{BF}丨}{e}$，
 cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{2\frac{丨BF丨}{e}}{4丨BF丨}$=$\frac{1}{2e}$，
sin∠BAE=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAE}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4{e}^{2}}}$，
那么tan∠BAE=$\frac{sin∠BAE}{cos∠BAE}$=$\frac{\sqrt{1-\frac{1}{4{e}^{2}}}}{\frac{1}{2e}}$=k_AB=$\sqrt{2}$，整理得：4e2-1=2，解得：e=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜e＜1
∴椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的第二定义，考查直线的离心率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．