Question

12．函数y=f（x）图象上不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_M，k_N，规定φ（M，N）=$\frac{{|{{k_M}-{k_N}}|}}{{|{MN}|}}$（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．①函数f（x）=x³+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，φ（M，N）=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$；
②设曲线f（x）=x³+2上不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁•x₂=1，则φ（M，N）的取值范围是（0，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）．

Answer 1

分析 对于①，由y=x³+1，得y′=3x²，则k_M=3，k_N=12，则|k_M-k_N|=9，y₁=2，y₂=9，则|MN|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（9-2）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，即可求出φ（M，N）=$\frac{9}{5\sqrt{2}}$=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$；
对于②，利用定义，再换元，即可得出结论．

解答 解：对于①，由y=x³+1，得y′=3x²，
则k_M=3，k_N=12，则|k_M-k_N|=9，y₁=2，y₂=9，则|MN|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（9-2）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
φ（M，N）=$\frac{9}{5\sqrt{2}}$=$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$；
②曲线f（x）=x³+2，则f′（x）=3x²，
设x₁+x₂=t（|t|＞2），则φ（M，N）=$\frac{|3{{x}_{1}}^{2}-3{{x}_{2}}^{2}|}{\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{{x}_{2}}^{3}-{{x}_{1}}^{3}）^{2}}}$=$\frac{3|t|}{\sqrt{1+（{t}^{2}-1）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+\frac{2}{{t}^{2}}-2}}$，
∴0＜φ（M，N）＜$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{{9\sqrt{2}}}{10}$，（0，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）．

点评 本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．