Question

9．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x^3}+3，x≤0}\end{array}}$，当2＜a≤3时，则方程f（2x²+x）=a的根最多个数是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用换元法令t=2x²+x，利用数形结合进行讨论即可得到结论．

解答 画出函数f（x）的图象如右图，
令t=2x²+x，
当2＜a≤3时，y=a与y=f（t）的图象有三个交点，
三个交点的横坐标记为t₁，t₂，t₃且t₁≤0＜t₂＜t₃，
当2x²+x=t₂时，该方程有两解，2x²+x=t₃时，
该方程也有两解，2x²+x=t₁时，该方程有0个解或1个解或2个解，
∴当2＜a≤3时，
方程f（2x²+x）=a的根的个数可能为4个，5个，6个；
当a＞3时，y=a与y=f（t）的图象有两个交点，
两个交点的横坐标记为t₄，t₅且0＜t₄＜t₅，
当2x²+x=t₄时，该方程有两解，2x²+x=t₅时，该方程也有两解，
∴当a＞3时，方程f（2x²+x）=a的根的个数为4个；
综上方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数可能为4个，5个，6个．
即根数最多为6个，
故选：C．

点评 本题主要考查根的个数的判断，利用换元法将方程转化为两个函数的相交问题，以及利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．