Question

9．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0，
（1）求直线AC的方程；
（2）求点B的坐标（x₀，y₀）；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知方程和AC⊥BH可得直线AC的斜率，可得方程；
（2）由题意可得x₀和y₀的方程组，解方程组可得；
（3）易得点C的坐标为（4，3），由距离公式可得|AC|和|BH|，代入面积公式可得．

解答 解：（1）由题意知AC⊥BH，k_AC=-2，
∴直线AC的方程为y-1=-2（x-5）
化为一般式可得2x+y-11=0；
（2）∵点B与点A的中点在直线CM上，
∴2•$\frac{{x}_{0}+5}{2}$-$\frac{{y}_{0}+1}{2}$-5=0，
又∵点B在直线BH上，
∴x₀-2y₀-5=0，
联立解得x₀=-1，y₀=-3，即B（-1，-3）
（3）将y=-2x+11代入2x-y-5=0得点C的坐标为（4，3），
∴|AC|=$\sqrt{5}$，|BH|=$\frac{|-2-3-11|}{\sqrt{5}}$=$\frac{16}{\sqrt{5}}$，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$|AC||BH|=8

点评 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及距离公式，属基础题．