Question

已知cos

π

3

=

1

2

，cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

，cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

8

，…
（1）根据以上等式，猜想出一般的结论是

 

；
（2）若数列{a_n}中，a₁=cos

π

3

，a₂=cos

π

5

cos

2π

5

，a₃=cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

，…的前n项和S_n=

1023

1024

，则n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,三角函数中的恒等变换应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由前三项总结规律，由此合理猜想，能求出一般结论．
（2）由（1）{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，由此能求出n的值．

解答： 解：（1）∵cos

π

3

=

1

2

，
cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

=

1

22

，
cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

8

=

1

23

，…，
∴猜想：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

3π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

．
（2）数列{a_n}中，a₁=cos

π

3

=

1

2

，
a₂=cos

π

5

cos

2π

5

=

1

22

，
a₃=cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

23

，…，
∵{a_n}的前n项和S_n=

1023

1024

，
∴

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1023

1024

，
解得n=10．
故答案为：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

3π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

，10．

点评：本题考查一般结论的猜想，考查数列的前n项和的项数n的求法，解题时要认真审题，注意等比数列性质的灵活运用．