Question

过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y²=4x交于两点A、B，O是原点，A、B的横坐标分别为3和

1

3

，则下列：
①点P是抛物线y²=4x的焦点；
②

OA

•

OB

=-2；
③过A、B、O三点的圆的半径为

91

3

；
④若三角形OAB的面积为S，则

9

4

＜S＜

7

3

；
⑤若

AP

=λ

PB

，则λ=3．
在这五个命题中，正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：①设P（a，0），设直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次方程，由两根之积，即可得到a；
②求出A，B的坐标，由向量的数量积的坐标表示，即可得到；
③运用两种方法求出三角形ABO的面积，注意面积公式S△ABC=

1

2

absinC=

abc

4R

；
④由△ABO的面积，即可判断；
⑤

AP

=λ

PB

，即

AF

=λ

FB

，由A，F，B的坐标，即可得到．

解答： 解：由图可得A（3，2

3

），B（

1

3

，-

2 3

3

）
①设P（a，0），过P的直线为y=k（x-a），联立抛物线方程消去y，得k²x²-（2ak²+4）x+k²a²=0，则3×

1

3

=a²，a=1，
即P（1，0）即为焦点F，故①对；
②

OA

•

OB

=（3，2

3

）•（

1

3

，-

2 3

3

）=3×

1

3

-2

3

×

2 3

3

=-3，
故②错；
③S_△ABO=

1

2

×1×（2

3

+

2 3

3

）=

4 3

3

=

AB•OA•OB

4R

=

16 3 × 21 × 13 3

4R

，R=

91

3

，故③对；
④S_△ABO=

4 3

3

＞

9

4

，

4 3

3

＜

7

3

，故④对；
⑤若

AP

=λ

PB

，即

AF

=λ

FB

，λ=

1-3

1 3 -1

=3，故⑤对．
故答案为：①③④⑤

点评：本题考查抛物线的定义、性质和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，得到二次方程，应用韦达定理求解，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，和向量共线定理，以及求外接圆的半径应用面积公式，属于中档题．