Question

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5．设S_n=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2ⁿ）．
（1）则S₂=

 

；（2）S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于g（k）表示k的最大奇数因数，可得g（1）=g（2）=g（4）=1，g（3）=3．
（2）不难发现对m∈N^*，有g（2m）=g（m）．因此当n≥2时，Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]=4^n-1+S_n-1，于是Sn-Sn-1=4n-1，n≥2，n∈N^*．利用“累加求和”即可得出．

解答： 解：（1）S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6．
（2）不难发现对m∈N^*，有g（2m）=g（m）．
∴当n≥2时，Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=

(1+2n-1)×2n-1

2

+[g(1)+g(2)+…g(2n-1)]
=4^n-1+S_n-1
于是Sn-Sn-1=4n-1，n≥2，n∈N^*．
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n

3

+

2

3

，n≥2，n∈N^*．
又S₁=2，满足上式，所以对n∈N^*，Sn=

1

3

(4n+2)．

点评：本题考查了利用归纳猜想得出规律、等比数列与等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．