Question

5．过椭圆$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1内的一点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直线方程为（　　）

• A． 9x-y-4=0
• B． x+y+5=0
• C． 2x+y-2=0
• D． 9x+y-5=0

Answer 1

分析 设过点P的弦与椭圆交于A，B两点，并设出他们的坐标，代入椭圆方程联立，两式相减，根据中点P的坐标可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式即可求得直线的方程．

解答 解：设这条弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{9}+{x}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{9}+{x}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，两式相减可得：$\frac{{（y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
由中点坐标公式可得：x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
∴y₁-y₂=-9（x₁-x₂），
由k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
∴弦所在的直线方程y-$\frac{1}{2}$=-9（x-$\frac{1}{2}$），整理得：9x+y-5=0，
故选：D．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系，考查弦长的中点坐标公式，考查“点差法”应用，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．