Question

15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x）；当0≤x≤1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x；令g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$，则函数g（x）在区间[-10，10]上所有零点之和为-5．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性和对称性求出函数的周期性，然后求出函数在一个周期内的解析式，和零点，利用函数的周期性进行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数的周期为4，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当-1≤x≤0时，当0≤-x≤1，
则f（-x）=-$\frac{1}{2}$x=-f（x），
则f（x）=$\frac{1}{2}$x，-1≤x≤0，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x，-1≤x≤1，
若-3≤x≤-1，则-1≤x+2≤1，
∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-$\frac{1}{2}$（x+2），-3≤x≤-1，
由g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$，
则一个周期[-3，1]内，
若-1≤x≤1，则由f（x）=$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{2}$得x=-1，
若-3≤x≤-1，则由f（x）=-$\frac{1}{2}$（x+2）=-$\frac{1}{2}$得x=-1，
综上在一个周期内函数的零点为-1，
∵函数的周期是4n，
∴函数的零点为x=4n-1，（n∈Z），
∴函数g（x）在区间[-10，10]上所有零点之和为-9-5-1+3+7=-5
故答案为-5．

点评 本题主要考查函数零点的求解和判断，根据条件判断函数的周期和函数在一个周期内的零点是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．