Question

8．已知圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x²=2py（p＞0）上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2$\sqrt{3}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当圆心C在抛物线上运动时．
①|MN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②记|AM|=m，|AN|=n．求$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$的最大值，并求出此时圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义，结合圆的弦长公式建立方程进行求解即可．
（2）①根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可．
②求出相应的长度，结合基本不等式进行求解．

解答 解：（1）抛物线的准线为y=-$\frac{p}{2}$，当C在抛物线顶点时，圆C的半径为p，圆C的方程为x²+y²=p²．
∴弦长l=2$\sqrt{{p}^{2}-（\frac{p}{2}）^{2}}$=2$•\sqrt{\frac{3}{4}{p}^{2}}$=$\sqrt{3}$p=2$\sqrt{3}$．
∴p=2，
∴抛物线的方程为x²=4y．
（2）①记C（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），圆C的半径r=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{{a}^{2}}{4}-2）^{2}}$．
由垂径定理知|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}}$=2$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}-4•\frac{{a}^{2}}{4}+4-（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}}$=2×2=4．
∴|MN|为定值4．
②由①知，M（a-2，0），N（a+2，0），
∴|AM|=$\sqrt{（a-2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4a+8}$，
|AN|=$\sqrt{（a+2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4a+8}$．
∴$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{2{a}^{2}+16}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=$\frac{2\sqrt{（{a}^{2}+8）^{2}}}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=2•$\frac{\sqrt{{a}^{4}+16{a}^{2}+64}}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=2$•\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$，
当a=0时，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=2．
当a≠0时，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=2•$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$=2$•\sqrt{1+\frac{16}{{a}^{2}+\frac{64}{{a}^{2}}}}$≤2$•\sqrt{1+\frac{16}{2×8}}$=2$\sqrt{2}$．
当且仅当a=±2$\sqrt{2}$时，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$有最大值为2$\sqrt{2}$，
此时圆C的方程为（x±2$\sqrt{2}$）²+（y-2）²=8．

点评 本题主要考查抛物线性质的应用以及直线和圆的位置关系的应用，根据相应的弦长公式以及基本不等式的性质进行转化求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．