Question

【题目】已知椭圆： 的焦点的坐标为， 的坐标为，且经过点， 轴.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过的直线与椭圆交于两不同点，在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由的坐标为，且经过点， 轴，得，解得的值即可得椭圆的方程；（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），当斜率不存在，推出矛盾不成立，设直线l的方程为，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互平分的性质可得点M的坐标，代入椭圆方程解得即可．

试题解析：

（1），解得.所以椭圆的方程.

（2）假设存在点，

当斜率不存在，，，不成立；

当斜率存在，设为，设直线与联立得.

.

，则的中点坐标为

AB与的中点重合，

得 ，

代入椭圆的方程得.解得.

存在符合条件的直线的方程为：.