Question

【题目】设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零，记为所有这样的数表组成的集合，对于，记为的第行各数之和（剟 ），为的第列各数之和（剟），记为， ， ， ， ， ， ， 中的最小值．

（）对如下数表，求的值．

（）设数表形如：

求的最大值．

（）给定正整数，对于所有的，求的最大值．

Answer 1

【答案】（）．（）．（），

【解析】试题分析：（1）根据题目对新数表A和的定义代入已知数值即可得到的值；

（2）本问直接求的最大值比较困难，但可先做猜想，然后采用反证法证明即可得最大值为1；

（3）此问也是先根据特殊猜想的值，然后通过构造满足题意的A，后面在证明所取的值即为最大值时采用反证法。

试题解析：（）由题意可知， ， ， ， ，

∴．

（）先用反证法证明，

若，则，

∴，

同理，

∴，

由题目所有数之和为，即，

∴，与题目条件矛盾，

∴，

易知当时， 存在，

∴的最大值是．

（）的最大值是，

首先构造满足的，

， ，

， ，

经计算知， 中每个元素的绝对值都小于，所有元素之和为，且 ，

，

，

下面证明是最大值，若不然，则存在一个数表，使得，

由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过的数的和，其绝对值不超过，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中，由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于．

设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则， ，另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负．

考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过（即每个正数均不超过），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过），因此

，

故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾．因此的最大值为．