【题目】如图,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC.
(1)求证:AD⊥平面BCD;
(2)求三棱锥CABD的高.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先根据勾股定理得AC⊥BC. 再根据面面垂直性质定理得BC⊥平面ACD,即得AD⊥BC. 最后根据线面垂直判定定理得结论(2)因为BC⊥平面ACD,所以根据等体积法以及锥体体积公式即得结果
试题解析:解:(1)证明:由已知得AC=2,BC=2
,又AB=4,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又∵平面ADC⊥平面ABC,
∴BC⊥平面ACD,∴AD⊥BC.
又AD⊥CD,BC∩CD=C,∴AD⊥平面BCD.
(2)由(1)得AD⊥BD,
∴S△ADB=×2×2
=2
,
∵三棱锥BACD的高BC=2,
S△ACD=×2×2=2,
∴×2
h=
×2×2
,解得h=
.
∴三棱锥CABD的高为.
点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数)
(1)求曲线的直角坐标方程及曲线
的极坐标方程;
(2)当(
)时在曲线
上对应的点为
,若
的面积为
,求
点的极坐标,并判断
是否在曲线
上(其中点
为半圆的圆心)
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【题目】如图所示,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
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【题目】设是由
个实数组成的
行
列的数表,满足:每个数的绝对值不大于
,且所有数的和为零,记
为所有这样的数表组成的集合,对于
,记
为
的第
行各数之和(
剟
),
为
的第
列各数之和(
剟
),记
为
,
,
,
,
,
,
,
中的最小值.
()对如下数表
,求
的值.
()设数表
形如:
求的最大值.
()给定正整数
,对于所有的
,求
的最大值.
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【题目】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为
A. 4 B. 12
C. 16
D. 64
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【题目】(2017·郑州第二次质量预测)如图,高为1的等腰梯形ABCD中,AM=CD=AB=1.现将△AMD沿MD折起,使平面AMD⊥平面MBCD,连接AB,AC.
(1)在AB边上是否存在点P,使AD∥平面MPC?
(2)当点P为AB边的中点时,求点B到平面MPC的距离.
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【题目】“砥砺奋进的五年”,首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来,北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需,促进消费等政策的出台,居民消费支出全面增长,消费结构持续优化升级,城乡居民人均可支配收入快速增长,人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图(例如2012年,北京城镇居民收入实际增速为,农村居民收入实际增速为
).
(1)从2012-2016五年中任选一年,求城镇居民收入实际增速大于的概率;
(2)从2012-2016五年中任选两年,求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过的概率;
(3)由图判断,从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大?(结论不要求证明)
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【题目】如图,三棱柱中,
平面
,
.过
的平面交
于点
,交
于点
.
(l)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)记四棱锥的体积为
,三棱柱
的体积为
.若
,求
的值.
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【题目】设函数,其中
为自然对数的底数.
(1)若曲线在
轴上的截距为
,且在点
处的切线垂直于直线
,求实数
的值;
(2)记的导函数为
,
在区间
上的最小值为
,求
的最大值.
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