Question

【题目】已知定点， 为圆上任意一点，线段上一点满足，直线上一点，满足.

（1）当在圆周上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）若直线与曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：直线与不可能相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由，直线上一点，满足，可得 为线段 的垂直平分线，求出圆的圆心坐标为，半径为，得到，利用椭圆的定义，求解点的轨迹的方程即可；（2）当直线的斜率存在时，设直线为，联立直线与椭圆的方程，得，消去，利用判别式以及韦达定理，结合，可证明直线与一定相交，从而可得结论.

试题解析：（Ⅰ）由，直线上一点，满足，可得 时线段 的垂直平分线，求出圆的圆心坐标为，半径为，得到，点M的轨迹是以N、Q为焦点，长轴长为的椭圆，即2a=，2c=，∴b=．

所以点M的轨迹C的方程为：．

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，

得消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0．

因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以

△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-6）＞0，化简得：m2＜6k2+3①

由韦达定理得：．

∴．

∵，∴x1x2+y1y2=0，即，

整理得m2=2k2+2满足①式，∴d=，即原点到直线l为的距离是，

∴直线l与圆x2+y2=4相交．

当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C交点为A（m，），B（m，）

∵，∴．

此时直线为x=，显然也与圆x2+y2=4相交．

综上，直线l与定圆E：x2+y2=4不可能相切．