Question

已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）易求f（x）+f（x+4）=

-2x-2，x＜-3 4，-3≤x≤1 2x+2，x＞1

，利用一次函数的单调性可求f（x）+f（x+4）≥8的解集；
（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（

b

a

）?|ab-1|＞|a-b|，作差证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=

-2x-2，x＜-3 4，-3≤x≤1 2x+2，x＞1

，
当x＜-3时，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
当-3≤x≤1时，f（x）=4≥8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
∴不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤-5，或x≥3}．              
（Ⅱ）证明：∵f（ab）＞|a|f（

b

a

）?|ab-1|＞|a-b|，
又|a|＜1，|b|＜1，
∴|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
∴|ab-1|＞|a-b|．
故所证不等式成立．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分析讨论，去掉绝对值符号，利用一次函数的单调性求最值是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题．