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    对任意两个非零的平面向量
    α
    和
    β
    ，定义
    α
    o
    β
    =
    α
    •
    β
    β
    •
    β
    ，若平面向量
    a
    、
    b
    满足|
    a
    |≥|
    b
    |＞0，
    a
    与
    b
    的夹角θ∈[0，
    π
    4
    ]，且
    a
    o
    b
    和
    b
    o
    a
    都在集合{
    n
    m
    |m∈Z，n∈Z}中．给出下列命题：
    ①若m=1时，则
    a
    o
    b
    =
    b
    o
    a
    =1．
    ②若m=2时，则
    a
    o
    b
    =
    1
    2
    ．
    ③若m=3时，则
    a
    o
    b
    的取值个数最多为7．
    ④若m=2014时，则
    a
    o
    b
     的取值个数最多为
    20142
    2
    ．
    其中正确的命题序号是
     
    （把所有正确命题的序号都填上）
    考点：命题的真假判断与应用
    专题：综合题,简易逻辑
    分析：由新定义可知
    a
    o
    b
    =
    a
    •
    b
    b2
    =
    |
    a
    |cosθ
    |
    b
    |
    ，
    b
    o
    a
    =
    b
    •
    a
    a
    2
    =
    |
    b
    |cosθ
    |
    a
    |
    ，再对每个命题进行判断，即可得出结论．
    解答： 解：①
    a
    o
    b
    =
    a
    •
    b
    b2
    =
    |
    a
    |cosθ
    |
    b
    |
    ，
    b
    o
    a
    =
    b
    •
    a
    a
    2
    =
    |
    b
    |cosθ
    |
    a
    |
    ，则
    a
    o
    b
    =
    b
    o
    a
    ，可得|
    a
    |=|
    b
    |    ，∴
    a
    o
    b
    =
    b
    o
    a
    =cosθ，∵m=1，θ∈[0，
    π
    4
    ]，∴
    a
    o
    b
    =
    b
    o
    a
    =1，正确；
    ②若m=2时，则
    a
    o
    b
    =
    a
    •
    b
    b2
    =
    |
    a
    |cosθ
    |
    b
    |
    =
    n
    2
    ，同理
    b
    o
    a
    =
    |
    b
    |cosθ
    |
    a
    |
    =
    n′
    2
    ，相乘得到cos2θ=
    nn′
    4
    ，∵θ∈[0，
    π
    4
    ]，
    ∴
    1
    2
    ≤cos2θ≤1    ，∴
    1
    2
    ≤
    nn′
    4
    ≤1    ，∴n=1，n′=2或n=2，n′=2，∴
    a
    o
    b
    =
    1
    2
    或1，故不正确．
    ③若m=3时，则
    a
    o
    b
    =
    a
    •
    b
    b2
    =
    |
    a
    |cosθ
    |
    b
    |
    =
    n
    3
    ，同理
    b
    o
    a
    =
    |
    b
    |cosθ
    |
    a
    |
    =
    n′
    3
    ，相乘得到cos2θ=
    nn′
    9
    ，∵θ∈[0，
    π
    4
    ]，
    ∴
    1
    2
    ≤cos2θ≤1    ，∴
    1
    2
    ≤
    nn′
    9
    ≤1    ，∴n=1，n′=5，6，7，n=2，n′=3，4，5，6，7，n=3，n′=2，3，4，5，6，7，n=4，n′=2，3，4，5，6，7，n=5，6，6，n′=1，2，3，4，5，6，7，∴
    a
    o
    b
    的取值个数最多为7，正确．
    ④若m=2014时，由③的推导方法可知
    a
    o
    b
     的取值个数最多为
    20142
    2
    ，正确．
    故答案为：①③④．
    点评：本题考查命题真假的判断，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
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    x+3
    10
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    π
    6
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    3
    D、-
    π
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