Question

已知A（1，

sinα

sin(α+2β)

），B（

sinα

sin(α-2β)

-2，1），且

OA

•

OB

=0，sinβ≠0，sinα-kcosβ=0，则k=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得

OA

•

OB

=

sinα

sin(α-2β)

-2+

sinα

sin(α+2β)

=0，由三角函数的知识化简可得sin²2β=2sin²β•sin²α，由sinβ≠0可得2cos²β=sin²α，结合已知可得k值．

解答： 解：由题意可得

OA

•

OB

=

sinα

sin(α-2β)

-2+

sinα

sin(α+2β)

=0，
即

2

sinα

=

1

sin(α-2β)

+

1

sin(α+2β)

，
∴2sin（α-2β）•sin（α+2β）=[sin（α-2β）+sin（α+2β）]sinα，
即2sin（α-2β）•sin（α+2β）=2sin²α•cos2β，
∴cos4β-cos2α=2sin²α•cos2β，
∴cos²2β-cos²α=sin²α•cos2β=sin²α-2sin²β•sin²α，
即sin²2β=2sin²β•sin²α，
∵sinβ≠0，∴有2cos²β=sin²α，
∴k=

sinα

cosβ

=±

2

．
故答案为：±

2

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角函数的公式的应用，属中档题．