Question

7．已知tanα、cotα是关于x的方程2x²-2kx=3-k²的两个方程根，π＜α＜$\frac{5}{4}$π，求cosα-sinα．

Answer 1

分析 根据一元二次方程根与系数之间的关系求出k的值，结合同角的三角函数的关系式进行化简求解即可．

解答 解：方程2x²-2kx=3-k²等价为方程2x²-2kx+k²-3=0，
若tanα、cotα是关于x的方程2x²-2kx=3-k²的两个方程根，
则tanαcotα=$\frac{{k}^{2}-3}{2}$=1，则k²=5，
tanα+cotα=k，
∵π＜α＜$\frac{5}{4}$π，
∴tanα＞0，则k＞0，则由k²=5得k=$\sqrt{5}$，
由tanα+cotα=k=$\sqrt{5}$得$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{1}{sinαcosα}$=$\sqrt{5}$，
则sinαcosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵π＜α＜$\frac{5}{4}$π，
∴sinα＞cosα，
则cosα-sinα＜0，
即（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=1-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosα-sinα=-$\sqrt{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简和求解，根据一元二次方程根与系数的关系求出参数k的值是解决本题的关键．