Question

已知函数．
（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明．
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）讨论零点的个数．

Answer 1

(1)单调递减函数；（2）；（3）当或时，有1个零点．当或或时，有2个零点；当或时，有3个零点．

解析试题分析：（1）先根据条件化简函数式，根据常见函数的单调性及单调性运算法则，作出单调性判定，再用定义证明；（2）将题中所给不等式具体化，转化为不等式恒成立问题，通过参变分离化为，求出的最大值，则m的范围就是m大于的最大值；（3）将函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数与交点个数，运用数形结合思想求解.
试题解析：（1）当，且时，是单调递减的．       1分
证明：设，则



                                        3分
又，所以，，
所以
所以，即，
故当时，在上单调递减的．                4分
（2）由得，
变形为，即
而，
当即时，
所以．               9分
（3）由可得，变为
令
作的图像及直线，由图像可得：
当或时，有1个零点．
当或或时，有2个零点；
当或时，有3个零点．                  14分
考点：1.函数奇偶性的判定；2.不等式恒成立问题；3.函数零点；4.数形结合思想.