Question

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）由题意知f（1）=-3-c，因此b-c=-3-c，从而b=-3
又对f（x）求导得f′(x)=4ax3lnx+ax4•

1

x

+4bx3=x³（4alnx+a+4b）
由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12
（2）由（I）知f'（x）=48x³lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数；
当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数
因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）
（3）由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-3-c，此极小值也是最小值，
要使f（x）≥-2c²（x＞0）恒成立，只需-3-c≥-2c²
即2c²-c-3≥0，从而（2c-3）（c+1）≥0，解得c≥

3

2

或c≤-1
所以c的取值范围为（-∞，-1]∪[

3

2

，+∞)