Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在同一球面上，若四面体A-B₁CD₁的表面积为8

3

，则球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：球

分析：画出正方体，通过正四面体求出正四面体的棱长，然后求出正方体的棱长，求出外接球的半径，即可求解球O的表面积．

解答： 解：如图：四面体A-B₁CD₁是正四面体，表面积为8

3

，
∴一个面的面积为2

3

，
∴正方体的对角线的长AC满足：

3

4

AC2=2

3

，
∴AC=2

2

，
∴AB=2，
正方体的对角线就是外接球的直径，2R=2

3

，
∴R=

3

，
球的体积为

4π

3

R3=4

3

π．
故答案为：4

3

π．

点评：本题考查正方体以及正四面体的外接球的体积的求法，求出外接球的半径是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．