Question

焦点为F的抛物线y²=4x上有三点A、B、C满足：①△ABC的重心是F；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC的方程是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用△ABC的重心是F，可得y₁+y₂+y₃=0，x₁+x₂+x₃=3，|FA|、|FB|、|FC|成等差数列，可求B的坐标，进而可得直线AC的斜率，从而可得直线AC的方程．

解答： 解：设A、B、C三点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
∵抛物线y²=4x的焦点F的坐标为F（1，0），△ABC的重心是F
∴

1

3

（x₁+x₂+x₃）=1，y₁+y₂+y₃=0，可得x₁+x₂+x₃=3，
∵|FA|、|FB|、|FC|成等差数列，
∴2|FB|=|FA|+|FC|，
∴2（x₂+1）=x₁+1+x₃+1，
∴2x₂=x₁+x₃，
∴x₂=1，
∴y₂=±2，
∴y₁+y₃=±2，
∴k_AC=

y3-y1

x3-x1

=

4

y1+y3

=±2，
设直线AC的方程是y=2x+b，代入y²=4x可得4x²+（4b-4）x+b²=0，
∴x₁+x₃=-b+1=2
∴b=-1，
同理直线AC的方程是y=-2x+b，代入y²=4x，可得b=-1，
∴直线AC的方程是2x±y-1=0．
故答案为：2x±y-1=0．

点评：本题考查抛物线方程，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，确定直线AC的斜率是关键．