Question

设函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx（a≤0）．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a=0，b=-1时，函数g（x）=mx²-f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．此题需分a=0和a＜0两种情况讨论；
（Ⅱ）当a=0，b=-1时，函数g（x）=mx²-f（x）=mx²-x-lnx，可得g′（x）=

2mx2-x-1

x

（x＞0）．通过对m分情况讨论，利用导数研究函数的单调性极值，即可得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-ax-b，
由f′（1）=0，得b=1-a．
∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．
当a=0时，f′（x）=

1-x

x

，可得x=1是f（x）的极大值点，符合题意．
当a＜0时，由f′（x）=0，得x=1或x=-

1

a

．
∵x=1是f（x）的极大值点，
∴-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
综上：a的取值范围是-1＜a≤0．

（Ⅱ）当a=0，b=-1时，函数g（x）=mx²-f（x）=mx²-x-lnx，
则g′（x）=

2mx2-x-1

x

（x＞0）．
令h（x）=2mx²-x-1．
（1）当m=0时，g′（x）=

-x-1

x

＜0，则g（x）在（0，+∞）上为减函数．又g(

1

e

)=-

1

e

+1＞0，g（1）=-1＜0，∴函数g（x）有唯一零点．
（2）当m＜0时，令h（x）=2mx²-x-1的图象对称轴为x=

1

4m

＜0，且h（0）=-1＜0，∴当x＞0时，h（x）＜0．
∴函数g（x）在（0，+∞）上为减函数．当x→0时，g（x）→+∞，即?x₀＞0，使g（x₀）＞0，而g（1）=m-1＜0，∴函数g（x）存在唯一零点．
（3）当m＞0时，方程2mx²-x-1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，
又x₁x₂=-

1

2m

＜0，不妨设x₁＜0，x₂＞0．
当0＜x＜x₂时，h（x）＜0；当x＞x₂时，h（x）＞0．
∴函数g（x）在（0，x₂）上为减函数，在（x₂，+∞）上为增函数，
∴函数g（x）有最小值g（x）_min=g（x₂）．
要使g（x）=mx²-x-lnx存在唯一零点，应满足

g′(x2)=0 g(x2)=0

，即

2m x 2 2 -x2-1=0 m x 2 2 -lnx2-x2=0

，消去m得 2lnx₂+x₂-1=0．
令u（x）=2lnx+x-1（x＞0），则u′(x)=

2

x

+1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，又h（1）=0，所以h（x）=0有唯一的实根x=1，因此x₂=1，代入方程组得m=1．
综上可知，m≤0或m=1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、函数零点与函数单调性的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．